Модель M/M/m - это набор математических формул, которые позво­ляют прогнозировать производительность систем массового обслужи­вания, удовлетворяющих пяти специфическим условиям. Обозначе­ние M/M/m на самом деле представляет собой сокращение более длин­ного M/M/m/oo/FCFS, полностью описывающего все пять условий:

Время между поступлениями последовательных запросов является экспоненциально распределенной случайной переменной (смысл данного утверждения я поясню немного позже).

Время обслуживания представляет собой экспоненциально распре­деленную случайную переменную.

Существует m параллельных каналов обслуживания, при этом все они имеют одинаковые характеристики функциональности и произ­водительности и все одинаково готовы к предоставлению обслужи­вания любому поступающему запросу. Например, в системе M/M/1 существует один канал обслуживания, а в системе M/M/32 - 32 па­раллельных канала обслуживания.

На длину очереди не наложено никаких ограничений. Ни один за­прос, попадающий в очередь, не покидает ее, не получив соответст­вующего обслуживания.

M/M/m/oo/FCFS (обслуживание в порядке поступления)

Дисциплина очереди - обслуживание в порядке поступления запро­сов. (First-Come, First-Served - FCFS). Система предоставляет за­просам обслуживание в том порядке, в котором они были получены.

Системы M/M/m

Пять приведенных условий удачно вписываются в реальность систем Oracle. В нашей повседневной жизни нередко встречаются системы массового обслуживания, например:

Агентство по продаже авиабилетов, в котором шесть билетных кас­сиров обслуживают клиентов, стоящих в одной длинной извили­стой очереди. Это система M/M/6.

Четырехрядная платная автомобильная дорога, на которой один пункт оплаты обслуживает легковые машины и грузовики, выби­раемые из начала очередей, которые стоят на каждой полосе. Это четыре разных системы M/M/1, в каждой из которых средняя ин­тенсивность поступлений выбрана соответствующим образом для каждого ряда отдельно.

Симметричная многопроцессорная компьютерная система, в кото­рой 12 процессоров обслуживают запросы, выбираемые из начала очереди запросов, готовых к исполнению. В связи с недостаточной масштабируемостью операционной системы (к которой я еще вер­нусь) для такой системы подходит модель M/M/m, в которой m на­ходится в диапазоне 0 < m < 12.

Может показаться удивительным, что теоретики массового обслужива­ния обозначают экспоненциальное распределение не буквой «Е», а бук­вой «M». Дело в том, что буква «Е» уже занята - именно ею обозначает­ся распределение Эрланга (Erlang). Математикам пришлось выбирать для экспоненциального распределения букву, отличную от «Е», и они выбрали «M», т. к. экспоненциальное распределение обладает уникаль­ным марковским свойством или свойством отсутствия последействия (memoryless - «отсутствия памяти»1). Другие модели обозначаются бук­вами «G» (general) - произвольное, «D» (deterministic) - детерминиро­ванное и «Hk» (й-stage hyperexponential) - гиперэкспоненциальное рас­пределение порядка k.

Очевидно, что все эти примеры удовлетворяют условиям m, со и FCFS модели M/M/m/co/FCFS. Для проверки же соответствия требованию M/M необходим дополнительный анализ. В следующем разделе мы по­говорим о том, что означает экспоненциальность распределения слу­чайной переменной.

Не-M/M/m системы

Прежде чем переходить к изучению критерия M/M, отметим, что не все системы массового обслуживания представляют собой системы M/M/m. Например, следующие системы не являются системами M/M/m:

Агентство по продаже авиабилетов, в котором пять билетных кас­сиров обслуживают клиентов, при этом клиенты бизнес-класса и первого класса могут проходить вне очереди. Эта система нару­шает принцип FCFS, соблюдение которого необходимо для того, чтобы система относилась к разряду M/M/m.

Массив из шести независимых компьютерных дисков, каждый из которых обслуживает запросы ввода/вывода из начала выделенной для него очереди. Эта система нарушает условие M/M/6, заклю­чающееся в том, что все участвующие в обслуживании параллель­ные каналы одинаково готовы к обслуживанию любого прибываю­щего запроса. Например, запрос на чтение диска D может быть вы­полнен только диском D, вне зависимости от того, свободны ли ос­тальные диски. Такую систему можно смоделировать на основе шести независимых систем M/M/1.

Получение защелок Oracle. Защелки Oracle выделяются запросам не в порядке их поступления [Millsap (2001c)]. Поэтому система по­лучения защелок Oracle нарушает FCFS-принцип M/M/m.

Многие из систем, удовлетворяющих условиям .../m/oo/FCFS, наруша­ют принцип M/M из-за того, что процессы поступления запросов и их обслуживания не подчиняются экспоненциальному распределению. В следующих разделах я расскажу о том, как проверить, подчиняют­ся ли данные экспоненциальному распределению.

Экспоненциальное распределение

Я уже упоминал, что в начале 1900-х годов Агнер Эрланг заметил, что интенсивность поступления запросов в телефонную систему «подчи­няется распределению Пуассона». Выражение «подчиняется такому-то распределению» означает, что функция плотности вероятности ис­следуемой случайной величины имеет определенную математическую форму - в данном случае является пуассоновской функцией. Если нам известна функция плотности вероятности случайной величины, то мы можем вычислить вероятность того, что данная случайная величина примет любое интересующее нас конкретное значение. Говорят, что случайная величина имеет экспоненциальное распределение.

Во многих реально существующих системах время между поступлени­ями запросов и время обслуживания распределяются экспоненциаль­но, но для того чтобы достоверно смоделировать систему M/M/m, необ­ходимо проверить процессы обслуживания и поступления запросов в такой системе. В этой книге содержится вся информация, необходи­мая для проверки соответствия рабочих характеристик конкретной системы модели M/M/m.